Unidad 3

Ecuaciones

Constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio. Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algebraicas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto) vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.

Los datos incluidos en una ecuación pueden ser números, constantes, coeficientes variables. Las incógnitas, por su parte, están representadas por letras que sustituyen al valor que se intenta hallar.

Ejemplo:

4 + x = 9

En dicha ecuación, 4 y 9 son los datos, mientras que x es la incógnita. La ecuación puede resolverse de la siguiente forma:

4 + x = 9
x = 9 – 4
x = 5

El valor de la incógnita, por lo tanto, es 5.

Nota:

• Los valores de una incógnita x hacen que la ecuación se convierte en una proposición verdadera o raíz (soluciones o raíces).
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
• Una ecuación puede expresarse P(x)

La expresión que está a ambos lados en el símbolo = son los miembros de la ecuación

Clasificación de las ecuaciones 

Algebraicas o lineal: serán algebraicas o lineal si tienen números y letras. 

Ejemplo: 

×+8=10.

  En general para resolver una ecuación lineales debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos       independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Sistemas de ecuaciones lineales

Para el cálculo de la/s solución/es de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen tres métodos a seguir:

1) Reducción.

2) Igualación.

3) Sustitución.

Vamos a verlos por separado con ejemplos.

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

 15x - 9y = 1

 -15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la  desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es   .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

   

donde , , y  representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en  ni en , entonces la ecuación

   no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos  .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye  por su solución en otras ecuaciones donde aparezca  para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

• El sistema de ecuaciones

         

• es equivalente a este otro

        

• El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en  del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

• Del segundo sistema se deduce que

          

          que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es   .

• Sustituyendo  por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

            que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es   . 

Método de sustitución 

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Entonces podemos despejar  en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.

Aquí      y      son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo    por    en

se tiene que

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es .

Sustituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

cuya solución es   .

Fórmula Cuadrática

Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica    y luego resolvemos x, encontramos que

 .  

Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática.

                                        

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede ser usada para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma .

Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general,  , para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado:

·         Empezar con una ecuación de la forma .

·         Reescribir la ecuación de forma que  quede despejada.

·         Completar el cuadrado sumando a ambos lados.

·         Reescribir como el cuadrado de un binomio y resolver x.

¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ? Inténtalo antes de continuar con el siguiente ejemplo. Pista: Cuando trabajas con la ecuación general , existe una complicación que consiste en que el coeficiente de  no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace que se compliquen algunas de las expresiones, pero si tienes cuidado, todo resultará bien, y al final, ¡obtendrás la fórmula cuadrática!

Ejemplo
Problema	Completar el cuadrado de  para obtener la fórmula cuadrática.
			Dividir ambos lados de la ecuación entre a, para que el coeficiente de  sea 1
			Reescribir de tal forma que el lado izquierdo tenga la forma  (aunque en este caso bx es ).
			Sumar  a ambos lados para completar el cuadrado
			Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
			Evaluar como .
			Escribir las fracciones del lado derecho usando un común denominador
			Sumar las fracciones de la derecha
			Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Recuerda que debes conservar ambas raíces la positiva y la negativa!
			Restar  de ambos lados para despejar x.
			El denominador bajo el radical es un cuadrado perfecto, entonces .
			Sumar las fracciones ya que tienen un común denominador
Solución

Inecuaciones 

Es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. 

La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica , la cual contiene infinitos números reales.

Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades.

 Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita ; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco .

Ejemplo:

 x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe: 

 La inecuaciones se dividen en dos 

• Inecucacioes de primer grado
• Inecucaciones de segundo grado

Inecuaciones de primer grado

La solución de la incuación se la obtiene aplicando a las propiedades y el resultado es un conjunto de número llamado intervalo.

 Ejemplo:

Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)

Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que  > ), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Tendremos:   4x − 3 + 3 > 53 + 3

4x > 53 +3

4x > 56

Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).

Tendremos ahora:     x > 56 ÷ 4

x > 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.

Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.

Inecuaciones de segundo grado

Es una inecuación en donde encontramos números, una variable (que llamaremos x)

Para resolver con grados mayor que dos se debe seguir los siguientes pasos:

1. Factorar el polinomio.
2. Cada factor se debe igualar a 0.
3. Despeja la variable para encontrar los puntos criticos.
4. Graficar los puntos criticos en la recta real.
5. Tabular en una tabla asignandole valores a x.
6. La solución esta dad por zonas positivas se la desigualdad es mayor a 0  o por zonas negativas se es menor que 0 .

Ejemplo:

x² − 6x + 8 > 0

x² − 6x + 8 = 0

P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

S = (-∞, 2)  (4, ∞)