Unidad 5

Sistema cartesiano tridimensional

Un objeto es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. El sistema tridimensional mas usado en física (clásica) es el espacio: una dimensión para el ancho, otra para la altura y otro para la profundidad. Para representarlo basta con el gráfico de ejes cartesianos X,Y,Z. En las imágenes se puede observar el gráfico con el que se representan los sistemas tridimensionales.

• ·         Las coordenadas del punto E de la figura son (x,y,z).

• ·         La distancia signada x se llama abscisa, y se llama ordenada y z se llama cota.

• ·         Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

• ·        Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura:

SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejesOx,Oy yOz. Las coordenadas de un puntoP son (x, y, z). La distancia signadas como x, y y z se llaman abscisa, ordenada y cota respectivamente. Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

También se puede emplear la regla de la mano izquierda, como puede verse, los dedos medio, índice y pulgar se colocan en direcciones perpendiculares entre sí, se nombran los ejes a partir del dedo medio en orden alfabético.

Esta es la forma mas usual de representar los sentidos positivos de los ejes cordenados

 

EJERCICIOS:

Poliedros

Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Caras

Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas

Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos carastienen una arista en común.

Vértices

Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros

Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos

Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Tipos de poliedros

Poliedro convexo

En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

Poliedros regulares

Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros igualesy sus caras son polígonos regulares iguales.

Sólo existen cinco poliedros regulares:

Tetraedro

Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.Es una pirámide triangular regular.

Hexaedro o cubo

Su superficie está constituida por 6 cuadrados..

Tiene 8 vértices y 12 aristas..

Es un prisma cuadrangular regular. .

Octaedro

Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.

Tiene 6 vértices y 12 aristas.

Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.

Dodecaedro

Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.

Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Icosaedro

Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.

Tiene 12 vértices y 30 aristas.

Poliedros irregulares

Un poliedro irregular está definido por polígonos que no son todos iguales.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS POR  SU NUMERO DE CARAS

Nombre	Número de caras
tetraedro	4
pentaedro	5
hexaedro	6
heptaedro	7
octaedro u octoedro	8
eneaedro o nonaedro	9
decaedro	10
endecaedro o undecaedro	11
dodecaedro	12
tridecaedro	13
tetradecaedro o tetracaidecaedro	14
pentadecaedro o pentedecaedro	15
hexadecaedro	16
heptadecaedro	17
octadecaedro u octodecaedro	18
eneadecaedro o nonadecaedro	19
icosaedro o isodecaedro	20
triacontaedro	30
tetracontaedro	40
pentacontaedro	50
hexacontaedro	60
heptacontaedro	70
octacontaedro u octocontaedro	80
eneacontaedro o nonacontaedro	90
hectaedro	100
chiliedro	1000
miriedro	10000
decemiriedro	100000
hectamiriedro o megaedro	1000000
apeiroedro	∞

Teorema de Euler

C + V = A + 2

Nombre	Cara	Nº de caras	Nº de vértices	Nº de aristas
Hexaedro o cubo	Cuadrado	6	8	12
Tetraedro	Triángulo	4	4	6
Octaedro	Triángulo	8	6	12
Icosaedro	Triángulo	20	12	30
Dodecaedro	Pentágono	12	20	30

EJERCICIOS

1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema

indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m;  y el apotema de la base 0.60m

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.

Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. 

Puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Rotación paralela al eje (x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([f(x)-K]^{2}-[g(x)-K]^{2})\,dx}$

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y = f(x), y = 0, x = a y x = b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}$ método de discos.

Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos de base dxy altura f(x), alrededor del eje X, se forman discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del cilindro resulta ser V = πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales, es el volumen total que resulta en la expresión:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,{\text{d}}x}$

Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos el volumen menor

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([f(x)]^{2}-[g(x)]^{2})\,dx}$

Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([f(x)-K]^{2}-[g(x)-K]^{2})\,dx}$

en el caso en el que K>X, es decir la recta y=K que se encuentre debajo de las funciones, se debe aplicar:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}([K-f(x)]^{2}-[K-g(x)]^{2})\,dx}$

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b].Alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}(x-k)[f(x)-g(x)]\,dx}$

Nótese que ${\displaystyle x-k>0}$, por ende, esta fórmula funciona si la recta se encuentra a la izquierda de la región R comprendida entre las curvas f(x) y g(x), para que nuestra integral sea positiva.

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$ (método de cilindros o capas)

EJERCICIOS:

1) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva:
y = √x, de 0 a 1.

-solución:
el solido está entre x=0 y x=1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).

 El volumen de este disco será:

V= π (√x)² = πx

V= A(X) dx = πx dx = π calculado entre 0 y 1 = = 

2) Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la región limitada por
, y , alrededor del eje y.-solución:

Tenemos que despejar a en términos de y así: 

 Graficamos y sacamos el disco (disco rosado):

el volumen de este disco será:

 

 calculado entre 0 y 8 

Poliedros y cuerpos redondos 

 Para empezar miremos cuales son las diferencias entre una figura geométrica y un cuerpo geométrico o poliedro.

Cuando hablamos de figura geométrica, lo hacemos en dos dimensiones (2D): largo y ancho, pero cuando hablamos de un cuerpo geométrico lo hacemos en tres dimensiones (3D) largo, ancho y alto. Es así como dejamos de hablar de una geometría plana, para introducirnos en el estudio de una geometría espacial. En la figura podemos observar, gráficamente, la diferencia entre ambos objetos matemáticos.

 Los poliedros se relacionan estrechamente con las figuras planas, ya que un cuerpo geométrico está compuesto por caras que tienen forma de figuras planas o polígonos, como normalmente las conocemos. Es así entonces que definimos a los poliedros de la siguiente manera: Un poliedro es la región del espacio delimitada por polígonos. Lo poliedros o sólidos geométricos son figuras en tres dimensiones que poseen dos propiedades: el área de la superficie y el volumen.  Los cuerpos geométricos se dividen en cuerpos redondos y poliedros.

Podemos reconocer una anatomía de los poliedros así:

• Cara: cada uno de los polígonos que forman  el poliedro
• Aristas: Línea que se forma donde se unen dos caras
• Vértices: Punto donde se cortan tres aristas.
• Ángulos diedros: Ángulo formado por dos caras que tienen una arista en común.
• Ángulo poliedro: Ángulo formado por tres o más caras que tienen un vértice en común.
• Diagonal: Recta que une dos vértices  de caras diferentes

Quedan por nombrar otros elementos que se irán estudiando con el paso del tiempo y que tienen que ver con algunas condiciones particulares de cada grupo de cuerpos geométricos.

Miremos ahora una breve clasificación de poliedros. Empecemos por los más estudiados que son los poliedros regulares o sólidos platónicos, recordemos que se llaman así porque todas sus caras son polígonos regulares.

 Los primas y pirámides reciben sus nombres según la forma poligonal de sus bases, miremos algunas de ellas

Luego de mirar los anteriores cuerpo geométricos observemos un poco sobre qué es o qué son los cuerpos redondos. Estos son sólidos limitados por regiones curvas o planas y curvas, es decir, son aquellos que tienen al menos una de sus caras de forma curva; también se llaman cuerpos de revolución porque pueden obtener a partir de una figura alrededor de un eje.

EJERCICIOS